Falsyfikacja twierdzenia Cantora o większej mocy zbioru potęgowego
Sądzi się, że w matematyce nie można stosować metody falsyfikacji poglądów, hipotez i twierdzeń, ponieważ dotyczą one obiektów niematerialnych: wyidealizowanych i będących tylko i wyłącznie wytworem ludzkiej myśli. Nie można zatem w matematyce dokonać pewnego eksperymentu, w wyniku którego matematyczne twierdzenie zostanie obalone, bo nadal przecież posługiwać się będziemy zawodnym rozumem, co może prowadzić nawet do zdeprecjonowania matematyki (czy też logiki) do fantastyki i schizofrenii. Tak opisuje to wikipedia:
Część filozofów uważa, że matematyka nie jest eksperymentalnie falsyfikowalna, a tym samym zgodnie z definicją Karla Poppera nie mieści się w definicji nauki[14]. W 1930 Gödel udowodnił, że nie istnieje zbiór aksjomatów dla matematyki, który byłby równocześnie spójny i kompletny. Karl Popper stwierdził, że „większość teorii matematycznych jest, podobnie jak w fizyce i biologii, hipotetycznie-dedukcyjna: czysta matematyka dlatego okazuje się być wiele bliższa naukom przyrodniczym, których hipotezy są przypuszczeniami, niż wydawałoby się jeszcze niedawno”[15]. Jednym z wybitnych badaczy zastosowania falsyfikacji w matematyce był Imre Lakatos.
Podobnie jak wszystkie nauki formalne, matematyka nie dotyczy słuszności teorii w oparciu o empiryczne obserwacje świata, ale raczej zajmuje się teoretycznymi i abstrakcyjnymi badaniami takich tematów jak: wielkość, struktura, przestrzeń i zmiany. Metody nauk matematycznych są jednak stosowane w konstruowaniu i testowaniu modeli naukowych obserwowanej rzeczywistości. Albert Einstein napisał: "Spośród wszystkich innych nauk matematyka przede wszystkim z jednego powodu cieszy się szczególnym poważaniem; jej twierdzenia są bezwzględnie pewne i niezaprzeczalne, podczas gdy twierdzenia wszystkich innych nauk są do pewnego stopnia przedmiotem sporu i wciąż narażone na obalenie wskutek odkrycia nowych faktów"
Wbrew ostatniemu zdaniu Einsteina, zdarzały się wcześniej wpadki matematycznych teorii, a ostatnią, którą odkryłem można chyba uznać za megawpadkę. Błąd myślowej konstrukcji zbiorów nieprzeliczalnych wprowadzony przez Georga Cantora, budził na początku bardzo wiele sprzeciwów, glównie prof Kroneckera i jego szkoły, ale w końcu został zaakceptowany i stworzył filary dość mocno się rozwijającej Teorii Mnogości. Filary te jednak nie są zbyt mocne i pewien eksperyment myślowy przeprowadzony przeze mnie je usuwa, zawalając całą Katedrę Teorii Mnogości na nich właśnie opartą.
I Wam również proponuję przeprowadzenie tego toku myślowego bazującego na eksperymentach myślowych.
Możemy zacząć od rzeczywistych obiektów matematycznych takich, jak liczba czy zbiór oraz sposobów ich przedstawiania, prezentacji tak, by wszyscy ludzie (matematycy) mogli jednoznacznie te obiekty wyobrazić sobie, badać i używać. Jak te obiekty zapisać, by inni odczytali jednoznacznie zapis?
Już dawno wymyślono cyfrowy zapis liczb, a stawiając je w nawiasach klamrowych i oddzielając separatorami uzyskać zapis zbioru liczbowego. Dla zbiorów innych obiektów zapis zbioru jest podobny, tylko zamiast liczb wstawiamy właśnie te obiekty. Problemem stają się zapisy zbiorów i liczb zawierających nieskończoną liczbę elementów i/lub cyfr. Posiłkowanie się zapisem z nieskończoną ilością znaków nie wchodzi w grę, bo nikt tego ani nie napisze, ani nie odczyta. Oczywiście nikt z nas, zwykłych śmiertelników. Zaś stosowanie innych znaków spoza cyfr systemu używanego do liczenia w rodzaju π dla oznaczenia stosunku obwodu do średnicy okręgu ułatwia co prawda zrozumienie o jakim obiekcie mówimy, jeśli wcześniej tak właśnie się umówiliśmy, ale w celach obliczeniowych np. trajektorii statku międzygalaktycznego niezbędne do obliczeń staje się cyfrowe chociażby przybliżenie tej liczby niewymiernej. A z samego symbolu, czy słownego określenia co to jest, nie wynika, jak te cyfry mają powstawać. W ogóle z zapisem liczb niewymiernych mamy spory problem. Zapisy pozwalające wyliczać kolejne cyfry rozwinięcia liczbowego są także nieskończone i dodatkowo są często bardzo od siebie różne, mimo że przedstawiają tą samą liczbę:
4-4/3+4/5-4/7+4/9-4/11+4/13-4/15+...= π =2*(2/1)*(2/3)*(4/3)*(4/5)*(6/5)*(6/7)*(8/7)*(8/9)*(10/9)*...
A to oczywiście jest już spory kłopot. I w dodatku wszystkie zapisy są nieskończone! O ile jednak nie znajdziemy żadnej prawidłowości w kolejnych cyfrach rozwinięcia cyfrowego (np dziesiętnego, choć w innych jest podobnie), to jednak taką prawidłowość mamy w zapisach formuł, gdzie możemy przy pomocy odpowiednich znaków sumy ∑ nieskończonej lub iloczynu nieskończonego ∏ dokładnie określić jak będą wyglądać kolejne składniki czy mnożniki, jak pokazuję w powyższym przykładzie.
Cantor rozważając liczebności zbiorów i je porównując pod tym względem użył dość prostego zabiegu przy porównywaniu liczb rzeczywistych, a więc wymiernych i niewymiernych łącznie: każda taka liczba ma przecież właśnie to rozwinięcie cyfrowe i bazując na takim jednoznacznym przecież rozwinięciu można je w końcu jakoś porządkować!
??? Czy na pewno możemy porządkować liczby rzeczywiste bazując tylko na rozwinięciu cyfrowym??? Przecież w ten sposób nie wypiszemy nawet jednej liczby niewymiernej, a jeśli np przerwiemy wypisywanie cyfr rozwinięcia np dziesiętnego wpisując trzy kropki po ostatniej wypisanej cyfrze, co powszechnie przyjęto uważać, że ciąg cyfr dalej biegnie w nieskończoność 3,14159... to skąd wiadomo czy to liczba π, czy też inna np π-3*10^(-20). Widać stąd, że chcąc określać liczby rzeczywiste w postaci rozwinięć cyfrowych najpierw musimy wiedzieć jak one są tworzone, jaki jest sposób ich generowania.
Takiego też sposobu, czyli metajęzyka, użył Cantor do definiowania zbioru B:
Twierdzenie Cantora o większej mocy zbioru potęgowego. Proszę się z nim zapoznać, a następnie odpowiedzieć na następujące pytania lub postępować wg wskazówek:
1. czy dowód Cantora powinien być prawdziwy dla dowolnej funkcji 
? Także dla dowolnego zbioru A?
2. czy wyodrębnienie podzbioru A poprzez formułę
definiuje zbiór B ?
3. czy uzupełnienie zbioru B dane przez B'=A \ B jest zdefiniowane przez formułę
i tworzy zbiór B' zawarty w A?
4. czy zbiór B' może być obrazem w pewnej funkcji f pewnego elementu k , należącego do A?
Tu podpowiedź: ponieważ zarówno zbiór A, jak i funkcja f są dowolne, to możemy przyjąć A- zbiór liczb naturalnych i f - funkcja przyporządkowująca liczbom naturalnym podzbiory liczb naturalnych zapisane w postaci bezpośredniej, czyli liczb naturalnych rozdzielonych przecinkami i ujętymi w klamry {}, (np. {5,17,28,1001}), oraz podzbiory zapisane w postaci 
, gdzie P -predykat jednej zmiennej. Ponieważ dla funkcji f dziedziną jest zbiór liczb naturalnych, to funkcja ta będzie jednocześnie ciągiem. Teksty definiujące podzbiory wg powyższych reguł możemy ustawić w ciąg według wzrastającej ilości znaków użytych do ich wyartykułowania oraz alfabetycznie w obrębie jednakowej ilości znaków.
Zwracam uwagę, że jeśli twierdziliśmy, za Cantorem, iż formuła definiuje zbiór, to tego typu zapisy zbiorów możemy używać w celu ustawienia ich w ciągu.
5a. Czy indeks k należy do B' ? Czy należąc będzie spełniał formułę definiującą
5b. Czy indeks k nie należy do B' ? Czy nie należąc będzie spełniał formułę definiującą ?
Proszę sprawdzić, że:
Powyższe odpowiedzi na dwa ostatnie pytania (5a, 5b) uświadomią Wam, że formuła mająca tworzyć zbiór B' jest niepoprawna, skoro możliwe są pozytywne odpowiedzi na oba powyższe sprzeczne ze sobą pytania oraz, że wobec tego - ta formuła nie definiuje poprawnie zbioru B'. Wnioskujemy stąd, że formuła zbioru uzupełniającego do B' czyli formuła mająca definiować zbiór B jest również niepoprawna.
Dlaczego zatem nie przeprowadziłem tego rozumowania bezpośrednio do wątpliwej definicji zbioru B ?
Owszem, tak uczyniłem, pokazując w tym samym ciągu, że tu z kolei nie można rozstrzygnąć, czy element k należy do tworzonego zbioru B, bo powinien on należeć wtedy i tylko wtedy, gdy właśnie do niego nie należy, (i odwrotnie), czyli formuła jest niepoprawna i nie tworzy zbioru i nie może być umieszczona w tworzonym ciągu, którego elementami mają być zbiory, a nie inne twory i potwory. Tak uczyniłem, ale nie spotkało się to z aprobatą tych teoretyków teorii mnogości, do których się zwracałem a którzy argumentowali, że ta sprzeczność właśnie dowodzi niemożliwość ustawienia wszystkich podzbiorów liczb naturalnych w ciąg, zaś formuła mimo tego poprawnie definiuje zbiór B.
Istnienie zbioru B miało wynikać wprost z aksjomatu podzbiorów
Warto zwrócić uwagę na warunek nałożony na predykat P:
"
"Istnienie zbioru B jest uzależnione od tego by predykat P nie był zależny od zbioru B. Jeśli nie zawiera on symbolu B, to istnienie tego zbioru B gwarantuje właśnie ten aksjomat. Teoretycznie predykat P ≡ n∉f(n), (podobnie jak n∈f(n) ), nie zawiera tego symbolu B, ale funkcja f, ponieważ jest to dowolna funkcja, to taka funkcja już taki symbol może zawierać i wtedy powinna być wyłączona z gwarancji istnienia zbioru B wynikającej z aksjomatu podzbioru. Podobnie wtedy, gdy funkcja ta jest zależna od zbioru B, nawet bez zawierania jego symbolu, a w naszym powyższym przypadku gdy jest autoreferencyjna, czyli odnosi się sama do siebie, czyli do tworzonego zbioru.
Prawidłowo zdefiniowany przy pomocy metajęzyka ciąg f, taki, jak powyżej określony, może jednak istnieć, tylko musi falsyfikować zawarte w nim zapisy autoreferencyjne. Na przykład nie będą podlegać odrzuceniu inne, określane predykatami podzbiory, które są niezależne od ciągu i swej pozycji w tym ciągu: 
itp. Natomiast dla ciągów inaczej określonych te same predykaty, które powyżej tworzą zapisy autoreferencyjne, mogą już nie być wadliwe i wtedy mogą generować prawidłowe zbiory.
W dowodzie Cantora z powodu, że na funkcję f nie narzucone są żadne ograniczenia, bo i nie mogą być, skoro takie jest założenie, że to może być dowolna funkcja okazuje się, że nie zawsze można prawidłowo określić elementów zbioru B - bo dla niektórych funkcji predykat ten ich po prostu nie określa i tym samym pojawiająca się tam sprzeczność nie dowodzi tego, że zbiór potęgowy zbioru przeliczalnego jest wyższej mocy od niego samego.
Komentarze
Prześlij komentarz