Non-diagonal Cantor method of nested intervals. Niediagonalna Metoda Cantora zagnieżdżonych przedziałów

• 25 lutego, 2023
• , 5:11 pm
• , Uncategorized

The Proof That Shook The World Had No Diagonals

W powyższym linku Cantor chciał wykazać inną metodą, że niemożliwe jest utworzenie listy wszystkich liczb rzeczywistych. Metoda polega na kolejnym zawężaniu przedziału liczbowego przez kolejne pobieranie liczb z listy i jeśli należy do przedziału wyznaczonego przez poprzednią parę liczb (bi;ti) to jeden z końców przedziału zostaje podmieniony przez tą nową liczbę, a w następnym kroku podmieniony zostaje drugi koniec. Jeżeli w ciągu zawarte są wszystkie liczby rzeczywiste, to zawsze znajdzie się liczba zawarta w poprzednim odcinku, której nie mogło być wcześniej, bo inaczej to ona zawężałaby odcinek. Odcinek stawać się będzie coraz mniejszy, ciągi liczb bi oraz ti będą się zbliżać do siebie oraz do wspólnej granicy L.

Cytat:

“Cantor realized that this leads to a problem. In particular, it turns out must remain between and at all times. Indeed if for some, then since is strictly increasing cannot be. And if for some, then since can never exceed any value taken on, it follows that.

The problem, Cantor realized, is that if must always remain between and, then no way can appear in the sequence. In particular, if it does appear, then when we reach the sequence, we will advance one of or take its value (since is between and ). But then once we advance both one more time (increasing and reducing ), we will no longer be between them. This shows that  cannot appear anywhere in the list, which, in turn, implies that the list cannot contain all real numbers after all, a contradiction.”

Hm… procedura przedziałów zagnieżdżonych działa dobrze dla list ciągów liczb wymiernych głównie z tego powodu, że to ona właśnie definiować może liczby niewymierne z oczywistych powodów niezawartych na takiej liście.

Jeśli rozważamy listę wszystkich liczb rzeczywistych, to z powyższego cytatu wręcz wynika, że granica L jest dobrze zdefiniowana tekstowo dla dowolnej listy liczb rzeczywistych, ale dodatkowo na owej liście nie może znaleźć się liczba L, co jest sprzecznością, ale niekoniecznie wynikającą z założenia, że lista zawiera wszystkie liczby rzeczywiste, ale może to także wynikać z wadliwości cantorowskiej konstrukcji przedziałów zagnieżdżonych mającej generować liczbę L.

Zauważmy najpierw, że każda liczba rzeczywista L, a więc zarówno niewymierna, jak i wymierna a nawet naturalna może być przedstawiona w postaci granicy nieskończonego ciągu liczb i to dwojako: jako ciągu rosnącego b i ciągu malejącego t. Weźmy ℇ>0: b1=L-ℇ/1, t1=L+ℇ/1, dalej  b2=L-ℇ/2, t2=L+ℇ/2 i ogólnie bi=L-ℇ/i, ti=L+ℇ/i.

A to oznacza, że każdą liczbę rzeczywistą możemy zdefiniować metodą zagnieżdżonych przedziałów przy pomocy skończonego tekstu i jako taki tekst ten znajdzie się na liście, na której chcemy umieścić wszystkie liczby rzeczywiste (zdefiniowane tekstowo). Jednak, jak wcześniej stwierdziliśmy granica L uzyskana metodą zagnieżdżonych przedziałów nie może pojawić się na liście, co implikuje, że żadna liczba rzeczywista nie może się na niej pojawić, czyli lista powinna być pusta i brak możliwości działania metody na pustej liście.

Pokażę, że dla każdej liczby rzeczywistej L∈ℝ można tak ułożyć liczby zdefiniowane tekstowo, czyli ze zbioru R, na liście aL, by metodą zagnieżdżonych przedziałów uzyskać zbieżny ciąg do tej liczby L.

Wiemy, że zapis liczb opiera się na tekstach nad dostatecznie bogatym alfabetem i wiele różnych tekstów może definiować tą samą liczbę. W celu wykazania równoliczności zbiorów rzeczywistych z naturalnymi wystarczyłoby pokazać suriekcję z ℕ na ℝ, lub wykazać, że nie istnieje element z ℝ niebędący obrazem w takiej suriekcji, co pokazaliśmy dla metody diagonalnej Cantora – wykazując jej antynomijny charakter.

Biorąc powyższe pod uwagę możemy skonstruować aL – ciąg definicji liczbowych, w którym ani jeden raz nie pojawi się z góry zadana dowolna liczba rzeczywista L (zdefiniowana być może także dowolnym innym tekstem). Na liście tej znajdą się wszystkie pozostałe skończone definicje liczb rzeczywistych i lista aL podlegać będzie cantorowskiej metodzie przedziałów zagnieżdżonych z granicą L.

Konstrukcja aL:

Wszystkie teksty nad alfabetem z- elementowym ustawimy w kolejności zaproponowanej już przez Julesa Richarda:

-wzrastającej ilości znaków

-leksykograficznie

I przypisuje się im oznaczenia T1, T2, itd., co oznacza, że wśród nich będzie z tekstów jednoznakowych, z^2 dwuznakowych, z^3 trójznakowych… itd. Przy pomocy CC Kryterium Cantora tworzymy listę R – listę liczb rzeczywistych zdefiniowanych tekstowo R1, R2, R3 itd.

Teraz utworzymy listę aL przez pobieranie w zmienionej kolejności elementów z listy R:

1.Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą L, L∈ℝ,

dowolne ℇ>0 i wpiszemy pierwsze liczby  na liście aL:

a1=b1=L-ℇ/1,                   a2=t1=L+ℇ/1

         Będziemy z listy R pobierać kolejne definicje jednoznakowe i jeśli będą definiować liczby z przedziału (a1, a2)=(L-ℇ/1, L+ℇ/1), to pozostaną nadal na liście R, lecz jeśli będą z poza tego przedziału, to zostaną kolejno umieszczone na liście aL i jednocześnie usunięte z R.

W ten sposób powstanie nowa lista RL1 – lista tekstowych definicji liczb rzeczywistych z przedziału (L-ℇ/1,L+ℇ/1) oraz tekstów dłuższych niż 1 znak. 

2.W następnym kroku (drugim):

Wprowadzamy następne liczby: L-ℇ/2, oraz L+ℇ/2, dzięki czemu przedział zawęzi się do (L-ℇ/2, L+ℇ/2), a dalej będziemy analizować definicje z listy RL1, które zbudowane są z najwyżej 2 znaków i jeśli zawierać się będą w nowym przedziale to pozostaną na liście RL1, a jeśli nie to umieszczone na liście aL i usunięte z listy RL1.   

        Powstanie nowa lista RL2 – lista tekstowych definicji liczb rzeczywistych  z przedziału (L-ℇ/2, L+ℇ/2) oraz tekstów zdefiniowanych co najmniej trzema znakami.

i.W kroku i-tym: (powtarzany do nieskończoności)

Na listę wprowadzamy liczby L-ℇ/i oraz L+ℇ/i,

 tworzące i-ty przedział (L-ℇ/i, L+ℇ/i)

         i analizujemy definicje z RL(i-1) najwyżej i-elementowe: jeśli nie należą do i-przedziału to są przesuwane na listę aL.  Lista RLi – lista tekstowych definicji liczb rzeczywistych  z przedziału (L-ℇ/i, L+ℇ/i) oraz tekstów złożonych z co najmniej (n+1) znaków.

Koniec konstrukcji aL

Konstrukcja ta gwarantuje, że wszystkie definicje liczb rzeczywistych znajdą się na liście aL za wyjątkiem liczby L, będącej graniczną wartością zbieżnych przedziałów. Lista RL∞ nie jest pusta, bo znajduje się na niej tekst definiujący granicę przedziałów zagnieżdżonych lim∞aL i nie może pozostać na niej definicja żadnej liczby rzeczywistej różnej od L, bo wtedy znajdziemy takie i, że liczba ta nie znajdzie się w przedziale (L-ℇ/i, L+ℇ/i), co z konstrukcji  aL gwarantuje, że liczba taka jest usuwana z listy RLi. Na liście RL∞ pozostaną tylko różne definicje liczby L, zdefiniowane różnymi tekstami i to w nieskończonej ilości wynikające z możliwości dodania do tekstu dowolnej ilości spacji bez zmiany interpretacji lub tekstów w rodzaju „pomnóż liczbę zdefiniowaną tekstem <  > przez 7/7”.

Ponieważ na początku zakładaliśmy, że L to dowolna liczba rzeczywista, to oznacza, że każda może być zdefiniowana tekstem, czyli, że wszystkie liczby rzeczywiste nie tworzą zbioru nieprzeliczalnego, bo są w przeliczalnym zbiorze tekstów je definiujących.

Jeśli na początku listy aL dodamy tekst definiujący w dowolny sposób liczbę L, a indeksy wszystkich pozostałych definicji przesuniemy o jeden dalej (tak jak w hotelu Hilberta), to liczebność takiej listy się nie zmieni – nadal będzie przeliczalna, mocy alef zero. Możemy też utworzyć nową przeliczalną listę AL dołączając do aL nieskończoną listę definicji L z pozostałości w RL∞  w następujący sposób: wszystkie definicje z aL przesuwamy na pozycje parzyste, a na zwolnionych nieparzystych umieszczamy definicje L pozostałe w RL∞, których liczebność jest taka sama, jak wszystkich pozostałych liczb rzeczywistych – ale tak to już jest z tą nieskończonością. Lista R w sposób oczywisty posiada identyczne elementy, jak lista AL, bo ta ostatnia ma tylko poprzestawianą kolejność elementów z R wynikającą z konstrukcji aL i AL.

Konstrukcję listy R definicji tekstowych liczb rzeczywistych możemy zapisać skończonym tekstem. Połączenie z metodą zagnieżdżonych przedziałów nadal pozostaje tekstem skończonym, który powinien według Cantora definiować liczbę L spoza listy przeliczalnej. Zaś każdy skończony tekst, znajduje się w puli wszystkich tekstów, ale nie wszystkie przecież definiują liczby rzeczywiste mimo ich pozornej poprawności. A przy konstrukcji Cantora mamy do czynienia z tekstem autoreferencyjnym i nie można bezkrytycznie przyjmować, że ten będzie poprawny.

Na to, aby ciąg aL był zbieżny do L musi nie zawierać liczby L. Pokazaliśmy, jak można zbudować ciąg dla każdego L∈ℝ, a nawet całe rodziny ciągów, gdyż kolejność definicji może się zmieniać w zależności od obranej na początku liczby ℇ.  Wszystkie te listy po dołączeniu granic zbieżności mają identyczne elementy jak lista R, tylko poustawiane w nieco innej kolejności i prezentują przypadek wieloznaczności konstrukcji uzupełniającej do cantorowskiej konstrukcji zagnieżdżonych przedziałów – dla każdej liczby L∈ℝ istnieje lista aL zatem dla pełnej listy R=ℝ, zawierającej z konieczności wszystkie liczby – a więc zawierającej także L – obojętnie jak poprzestawianej, taka granica nie istnieje, bo wszystkie możliwości zbieżności do liczby z ℝ są wyczerpane, co można także wytłumaczyć tym, że  cały zbiór ℝ jest sumą wszystkich granic L.

Podobno Cantor był wierzący. A jednak uroił sobie, że może być większy od nieskończoności i jej boskich atrybutów…